H : voyelle ou consonne ?

Pour être plus précis, on dira donc qu'en français, il peut arriver à cette lettre h de noter un phonème non distinctif…

Pardonne-moi, Jehan, mais un phonème est toujours distinctif, c'est dans sa définition. Il ne faut justement pas confondre phonème et son.

C'est vrai ! Cependant, ici, l'on mentionne bien /h/ dans les phonèmes du français :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Phon%C3%A8me
Et ici aussi :
https://www.editions-ellipses.fr/PDF/9782729872588_extrait.pdf

Peut-être parce qu'il permet éventuellement de prononcer différemment ha ! et a, hop ! et ope, hem ! et m, holà ! et ola, hou ! et ou, houp ! et houppe ?

Mais Grevisse lui refuse le nom de phonème (§ 31 p. 38).
C'est le problème des sons empruntés aux langues étrangères, des sons expressifs ou ayant autrefois existé en français (le h germanique, par exemple qui "survit" dans l'absence de liaison).

Jehan a écrit : Les voyelles étant évidemment : a e i o u y,

Pour "en", "in", "on" et "un", on ne parle pas de voyelles nasales ?

Ne pas confondre les lettres-voyelles et les sons-voyelles. Ce n'est pas la même chose…
Les lettres-voyelles sont bien a e i o u y.
Les voyelles nasales sont des sons-voyelles, qui se transcrivent en français au moyen de digrammes (groupes de deux lettres, comme in, an) ou parfois de trigrammes (groupes de trois lettres, comme ein, aon).

Au quai, merci Jehan.

Mais Grevisse lui refuse le nom de phonème (§ 31 p. 38).

Notons que Grevisse écrit malgré tout un peu plus bas :

Le français de certaines régions (Est de la Wallonie, Lorraine, Alsace, Normandie, Bretagne, Gascogne, Québec) connaît encore l’h aspiré comme phonème (que l’alphabet phonétique représente par [ h]). À Liège, haine et aine sont souvent nettement distincts.