Bonsoir, Pierre !

C’est dans Grevisse et dans Hanse que cette question est le mieux expliquée. Je vais résumer ce qui s’y trouve et, pour notre édification, y ajouter les citations :

1 On emploie QU’IL lorsque le verbe est ESSENTIELLEMENT impersonnel.
* Il faut CE QU’IL faut. Voilà CE QU’IL vous faut.
* Je ne sais pas CE QU’IL y a.

2 Les fluctuations de l’usage s’observent lorsque le verbe peut être personnel OU impersonnel.
a) QU’ s’impose lorsque ce qui suit le verbe constitue un « sujet réel ».
* Je prendrai CE QU’IL me plaira de prendre. (-> il me plaira de prendre qu’)
* ° CE QUI me plaira de prendre.

Le Robert (Usuels) écrit qu’on emploie à peu près indifféremment :
* Tu sais CE QU’IL va arriver ? (Gallo)
* Tu sais CE QUI va arriver ?
* Qu’est-CE QU’IL se passe ? (Il se passe quelque chose.)
* Qu’est-CE QUI se passe ? (Quelque chose se passe.)

b) On essaye aussi de faire une distinction à propos de PLAIRE.
* Choisis CE QUI te plaît. (= ce qui t’attire, ce qui te donnera du plaisir.)
* Choisis CE QU’IL te plaît. (= ce que tu voudras.)
Hanse considère que cette distinction (logique, selon Grevisse) est plus théorique que réelle.

c) ARRIVER
* Il s’était demandé CE QU’IL arriverait… (Zola)
* CE QU’IL lui était arrivé. (Anatole France)
* Elle ne comprend pas CE QU’IL lui arrive. (Aragon)
* Voyez CE QUI m’arrive. (Académie)
* Qu’est-CE QUI arrive ? (Jules Lemaître)
* QUOI QUI arrivât dans sa vie. (Montherlant)

d) RESTER accepte assez facilement les deux tours :
* Il sait CE QUI / CE QU’IL lui reste à faire.
* Toutes les démarches QUI me resteNT / QU’IL me reste à faire.
* CE QUI / QU’IL lui reste d’argent.

Citations de Grevisse :
* CE QU’IL restait de fromage. (A. Daudet)
* Tous les livres QU’IL me reste à lire. (Renard)
* Durant les trente années QU’IL lui restait à vivre. (Anatole France)
* CE QU’IL lui restait à faire. (Rolland)
* Tout CE QU’IL vous reste à découvrir. (Duhamel)
* C’est tout CE QU’IL restait de l’ancienne chapelle. (E. Henriot)

* Le peu d’argent QUI lui restait. (Stendhal)
* CE QUI me restait à tenter. (A. Daudet)
* Le peu n’énergie QUI lui reste. (R. Martin du Gard)
* Le peu d’heures QUI me resteNT à vivre. (Benda)
* CE QUI lui reste de sainteté. (Maurois)
* Le peu de courage QUI lui reste. (Romains)

e) Grevisse cite également :
* Qui sait CE QUI peut advenir… ? (Musset)
* Voici CE QU’IL advint. (E. Henriot)

* Il en arrivera CE QUI pourra. (Nodier)
* Arrivera CE QU’IL pourra. (Duhamel)

* Je ne saurais dire CE QUI se passait en moi. (Académie)
* CE QU’IL se passa, je l’ignore. (E. Henriot)

* Qu’est-CE QU’IL vous prend ? (Ramuz et Ionesco)
* Qu’est-CE QU’IL leur prend ? (Chamson)
* Qu’est-CE QUI lui a pris. (Aymé)
* Qu’est-CE QUI te prend ? (Ramuz)
* Qu’est-CE QUI vous prend. (Ionesco)
* Nous ne savons pas CE QUI lui a pris. (Sarraute)

* CE QU’IL résultait d’un entretien si important. (Boylesve)
* Elle dit CE QU’IL convenait. (Romains)
* L’État cache CE QU’IL en est du sexe… (Foucault)

f) Grevisse considère comme irréguliers :
* […] apprendre à Jacques CE QUI importait qu’il sût. (Radiguet) -> CE QU’IL importait…
* J’imagine qu’elle connaît CE QUI lui est certainement impossible de connaître. (Queneau) -> CE QU’IL lui est…

CONCLUSION
Personnellement, je préfère QUI, chaque fois que c’est possible.

Un énorme merci, Edy ! (D'ailleurs, moi aussi, je suis un grand adepte du "qui" !)

Je me permets de répercuter votre réponse telle quelle au sein d'un autre forum, où la question avait été initialement posée - vous n'y voyez pas d'inconvénient ?

Pas d'inconvénient, Pierre !