Bonsoir !
Selon le Petit Robert, il n’y a pas une grande différence :
1 Quelques fois : un petit nombre de fois, un certain nombre de fois, plusieurs.
2 Quelquefois : un certain nombre de fois, dans un certain nombre de cas.
Selon le TLFI
1 Quelques fois : sert à marquer l'indétermination de l'objet (plus grande qu'avec des) et l'indétermination du nombre (dont on dit seulement qu'il est faible).
Synonymes : un petit nombre de, certains, plusieurs, maints, divers, différents, plus d'un.
2 Quelquefois : dans quelques occasions, dans un nombre de cas peu élevé ou à des moments espacés.
Synonymes : parfois (langue plus soutenue), des fois (familier ou populaire), de temps en temps, de temps à autre, occasionnellement, à l'occasion, par moments.
A MON AVIS
Tous les deux marquent l’indétermination dans la répétition.
Tous les deux (du moins selon TLFI) expriment un nombre petit, faible ou peu élevé.
Mais, toujours selon TLFI, quelquefois fait aussi référence à L’OCCASION.
Je ne vois pas de différence de signification entre vos deux exemples ; mais, en syntaxe, le second est un adverbe et le premier un complément circonstanciel (tous deux des compléments adverbiaux).
Je suis bien en peine de trouver d’autres exemples exprimant au moins une nuance. Je donne quand même ce qui suit, après une recherche informatique dans mon livre.
Je vous dis tout de suite que je n’ai aucune occurrence de « quelques fois », ce qui, a contrario, plaide pour la fréquence de « quelquefois », du moins selon mon « corpus ».
A vous de sentir, au travers de ces citations, si vous pouvez percevoir une idée d’occasion... ou d’herbe tendre. J’en vois l’une ou l’autre, mais c’est sans doute subjectif.
* Les hommes ont quelquefois le droit de dire du mal des femmes, jamais d’une femme. (RIVAROL)
* Un soupçon d’infidélité / Fait quelquefois un infidèle. (ANTOINE LE BRUN)
* Il vous vient quelquefois un dégoût d'écrire en songeant à la quantité d'ânes par lesquels on risque d'être lu. (PAUL LEAUTAUD. PASSE-TEMPS)
* L’envie de vous marier ne vous est-elle jamais venue ? - Si, quelquefois, le matin. (FONTENELLE)
* La chaîne du mariage est si lourde qu'il faut être deux pour la porter, quelquefois trois. (ALEXANDRE DUMAS FILS. NOTES ET PENSEES)
* Est-ce que tu tutoies ta femme ? - Oui, quelquefois, devant son amant. (ALFRED CAPUS. LES PENSEES)
* Je chemine toujours le long d’une ligne droite ; naturellement, quelquefois, je change de ligne droite. (ARMAND SALACROU. HISTOIRE DE RIRE)
* Sans ma sciatique, j'oublierais quelquefois que nous existons. (JEAN PAULHAN)