Bonsoir, Ipseite !
* ° Ils se sont fait l'écho de cette rumeur.
→ Ils ont fait à eux-mêmes (COI) l'écho (COD) de cette rumeur.
Vous en concluez à l'invariabilité : fait.
L'analyse et l'invariabilité seraient admissibles si la sémantique y trouvait son compte.
Mais, quand on répercute une rumeur, ce n'est pas à soi-même, vers soi-même qu'on fait l'écho, c'est vers autrui ; on ne répercute pas une rumeur vers l'intérieur, mais vers l'extérieur.
* Ils se (COD) sont faitS l'écho (attribut du COD) de cette rumeur.
Leur comportement a été tel qu'ils ont fait d'eux-mêmes l'écho de cette rumeur.
Dans cet énoncé, ils (sujet), se (COD) et l'échO (attribut du COD) sont identiques, coréférents. En se faisant l'échO, ils deviennent échO eux-mêmes.
Dans les deux dernières lignes, j'ai écrit échO :
lorsqu'un NOM est attribut du sujet ou du COD, l'accord :
1 en genre, est un effet du hasard,
* L'eau (féminin) est l'élément fondamental (masculin) de la cuisine anglaise. (Darc)
2 en nombre, dépend du contexte et de la situation.
* Les cachets (pluriel) de la Comédie-Française ne sont pas un remède (singulier) contre le trac. (Robert Hirsch)
* A partir d'un certain âge, les femmes (pluriel) se prennent pour leur fille (singulier). (Henri Jeanson) (Attribut du COD "se".)
Cordialement,
Edy