* ° Ils se sont fait l'écho de cette rumeur.
→ Ils ont fait à eux-mêmes (COI) l'écho (COD) de cette rumeur.
Vous en concluez à l'invariabilité : fait.

L'analyse et l'invariabilité seraient admissibles si la sémantique y trouvait son compte.

Mais, quand on répercute une rumeur, ce n'est pas à soi-même, vers soi-même qu'on fait l'écho, c'est vers autrui ; on ne répercute pas une rumeur vers l'intérieur, mais vers l'extérieur.

* Ils se (COD) sont faitS l'écho (attribut du COD) de cette rumeur.
Leur comportement a été tel qu'ils ont fait d'eux-mêmes l'écho de cette rumeur.
Dans cet énoncé, ils (sujet), se (COD) et l'échO (attribut du COD) sont identiques, coréférents. En se faisant l'échO, ils deviennent échO eux-mêmes.

Dans les deux dernières lignes, j'ai écrit échO :
lorsqu'un NOM est attribut du sujet ou du COD, l'accord :
1 en genre, est un effet du hasard,
* L'eau (féminin) est l'élément fondamental (masculin) de la cuisine anglaise. (Darc)

2 en nombre, dépend du contexte et de la situation.
* Les cachets (pluriel) de la Comédie-Française ne sont pas un remède (singulier) contre le trac. (Robert Hirsch)
* A partir d'un certain âge, les femmes (pluriel) se prennent pour leur fille (singulier). (Henri Jeanson) (Attribut du COD "se".)

Cordialement,
Edy

A part l'analyse d'Edy, puis-je détailler la phrase de la sorte: ils se sont fait l'écho de cette rumeur → ils ont fait à eux-mêmes l'écho de cette rumeur → pas d'accord donc, SE = à eux-mêmes.

Cela dit, cette dissection ne serait pas pertinente sous les yeux de certains. Je reste donc à votre écoute.

ip.

"Parce que normalement on accorde un verbe pronominal avec le sujet en absence de COD ou en cas de verbe essentiellement pronominal ce qui n'est pas le cas de faire." ERREUR.

Rappel
Le participe passé des verbes essentiellement (par construction) pronominaux et des verbes à sens passif s’accorde en genre et en nombre avec le sujet.
La maison s’est écroulée accidentellement.
Cette pièce s’est jouée pendant les fêtes de Noël.

Le participe passé des verbes pronominaux réfléchis ou réciproques s’accordent avec le COD s’il est placé avant.
La peine qu’il s’est donnée. Il s’est donné de la peine. Il se sont faits l’écho de cette rumeur.
Il se sont vus dimanche.

@ et bon Noël à tout le monde.
henry

* Ils se sont faits l'écho de cette rumeur.

C'est votre analyse qui n'est pas exacte.

Se faire : pronominal réfléchi.
Donc accord avec le COD SE et donc avec son antécédent ILS.
→ °Ils ont fait eux... → Ils se sont faits eux-mêmes.

Quant à L'ECHO, que vous analysez comme un COD, c'est en réalité un attribut du COD SE.
→ ° Ils ont fait eux l'écho. (Identité ou coréférence entre eux et l'écho.)

Vous m'objecterez que l'attribut du COD s'accorde avec le COD.
Ce n'est pas nécessairement vrai pour les noms.
* Ils se sont faits ermites.
Toutefois, il ne serait pas fautif d'écrire, bien qu'il s'agisse d'une locution reçue :
* Ils se sont faits les échos.
Par contre, un adjectif devrait s'accorder :
* Ils se sont faits beaux.
* Ils se sont rendus ridicules.

je ne comprends pas l'accord de faire dans cette phrase : "Ils se sont faits l'écho de cette rumeur".
Je ne comprends pas pourquoi on accorde faire avec le sujet. Parce que normalement on accorde un verbe pronominal avec le sujet en absence de COD ou en cas de verbe essentiellement pronominal ce qui n'est pas le cas de faire.
Mon raisonnement était : ils se sont fait quoi ? l'écho de cette rumeur donc pas d'accord. Mais apparemment je me trompe.

Pouvez-vous m'éclairez sur le sujet ?